Complex Numbers by Ledermann W.

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Satz 25. Sei J = {0} ein Ideal in K[X] und D das normierte Polynom kleinsten Grades in J. Dann gilt J = (D). Jedes Ideal in K[X] ist also ein Hauptideal. Man nennt K[X] auch eine Hauptidealalgebra. Beweis. Sei F ∈ J. Dann gibt es Q, R ∈ K[X] mit F = DQ + R, Grad R < Grad D Aber R = F −DG ∈ J und nach Wahl von D folgt R = 0. Also ist jedes F ∈ J ein Vielfaches von D. Umgekehrt liegen die DG nat¨ urlich in J, weil J ein Ideal ist. Wir kommen nun zum Begriff der Polynomfunktionen zur¨ uck, den wir aber gleich etwas erweitern.

Fortsetzen kann. Das ist gerade die Wertetabelle einer Funktion F aus der Definition. Die Addition von Polynomen und die Multiplikation 32 mit Skalaren entspricht einfach der entsprechenden Operation f¨ ur die Koeffizientenfolge. Und die Multiplikation   m+n (a0 + a1 X + . . + an X n )(b0 + b1 X + . . + bm X m ) = k aj bk−j  X k ,  k=0 j=0 entspricht gerade dem Cauchyprodukt. Unsere Definition liefert also Polynome als formale“ ” Ausdr¨ ucke der Form (11). Sie erzwingt, daß zum Beispiel f¨ ur K = Z2 die Polynome 1+X+X 2 und 1 voneinander verschieden sind.

0 ... 0  −ci0 −ci1    ..  .   ..  0 . 1 −ci di −1 0 0 .. mit di := dim Z(f, vi ) = Grad P (X)mi . Das Minimalpolynom von Bi ist di −1 µBi (X) = X di + ck X k = P (X)mi . k=1 Daher ergibt sich aus Satz 29 und Satz 30 61 (40) Satz 32 (Rationale Normalform: Matrixversion). Sei A ∈ M (n, n; K). Dann gibt es eine invertierbare Matrix S ∈ M (n, n; K), so daß   B1 0   B2   S −1 AS =   ..   . 0 Br mit Bl¨ ocken der Form  0 1   Bi =  0 .  .. 0 0 .. 0 ... ... 0 .  −ci0 −ci1    ..

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